Question

【题目】在斜三棱柱ABC﹣A′B′C′中，AC=BC=A′A=A′C，A′在底面ABC上的射影为AB的中点D，E为线段BC的中点．
（1）证明：平面A′DE⊥平面BCC′B′；
（2）求二面角D﹣B′C﹣B的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：以D为原点，DC为x轴，DB为y轴，DA′为z轴，建立空间直角坐标系，

设AC=BC=A′A=A′C=2，

则A′（0，0， ），D（0，0，0），C（ ，0，0），B（0， ，0），E（ ，0），B′（0，2 ， ），

=（0，0， ）， =（ ， ，0）， =（﹣ ， ，0）， =（﹣ ，2 ， ），

设平面A′DE的法向量 =（x，y，z），

则 ，取x=1，得 =（1，﹣1，0），

设平面BCC′B′的法向量 =（a，b，c），

则 ，取a=1，得 =（1，1，﹣1），

=1﹣1+0=0，

∴平面A′DE⊥平面BCC′B′

（2）解： =（ ）， =（0，2， ），

设平面DB′C的法向量 =（x1，y1，z1），

则 ，取y1=1，得 =（0，1，﹣ ），

平面BCC′B′的法向量 =（1，1，﹣1），

设二面角D﹣B′C﹣B的平面角为θ，

则cosθ= = ，∴sinθ= = ．

∴二面角D﹣B′C﹣B的正弦值为 ．

【解析】（1）以D为原点，DC为x轴，DB为y轴，DA′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面A′DE⊥平面BCC′B′．（2）求出平面DB′C的法向量和平面BCC′B′的法向量，利用向量法能求出二面角D﹣B′C﹣B的正弦值．
【考点精析】关于本题考查的平面与平面垂直的判定，需要了解一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直才能得出正确答案．