Question

在平面直角坐标系中，动点满足：点到定点与到轴的距离之差为.记动点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的轨迹方程；

（2）过点的直线交曲线于、两点，过点和原点的直线交直线于点，求证：直线平行于轴.

 

Answer 1

(1). ;(2).详见解析；

【解析】

试题分析：（1）依题意知，动点满足：点到定点与到轴的距离之差为，由此可得，进而求曲线C方程；

（2）法Ⅰ：设，求出直线的方程为，将直线与抛物线方程联立得，得，求出直线的方程为 进而点的坐标为 直线平行于轴；

法Ⅱ：设的坐标为，求出的方程为得到点的纵坐标为， 由于， 则直线的方程为得点的纵坐标为，则轴；当时，结论也成立，故命题得证.

试题解析：（1）依题意： 2分

4分

6分

注：或直接用定义求解.

（2）法Ⅰ：设，直线的方程为

由 得 8分

直线的方程为 点的坐标为 10分

直线平行于轴. 13分

法Ⅱ：设的坐标为，则的方程为

点的纵坐标为， 8分

直线的方程为

点的纵坐标为. 11分

轴；当时，结论也成立，

直线平行于轴. 13分.

考点：1. 轨迹方程；2. 直线与圆锥曲线的综合问题．