Question

已知圆N：（x+2）²+y²=8和抛物线C：y²=2x，圆的切线l与抛物线C交于不同的两点A，B，
（1）当直线l的斜率为1时，求线段AB的长；
（2）设点M和点N关于直线y=x对称，问是否存在直线l使得？若存在

MA

⊥

MB

，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）圆N的圆心N为（-2，0），半径r=2

2

，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设l的方程，利用直线l是圆N的切线，求得m的值，从而可得直线l的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，即可计算弦长|AB|；
（2）设直线l的方程，利用直线l是圆N的切线，可得直线l的方程，与抛物线方程联立，利用

MA

⊥

MB

，可得m的值，从而可得直线l的方程；当直线l的斜率不存在时

MA

⊥

MB

不成立．

解答：解：因为圆N：（x+2）²+y²=8，所以圆心N为（-2，0），半径r=2

2

，…（1分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
（1）当直线l的斜率为1时，设l的方程为y=x+m即x-y+m=0
因为直线l是圆N的切线，所以

|-2+m|

2

=2

2

，解得m=-2或m=6（舍），此时直线l的方程为y=x-2，…（3分）
由

y=x-2 y2=2x

消去x得y²-2y-4=0，
所以△＞0，y₁+y₂=2，y₁y₂=4，…（4分）
所以(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=20
所以弦长|AB|=

1+ 1 k2

•|y1-y2|=2

10

…（6分）
（2）设直线l的方程为y=kx+m即kx-y+m=0（k≠0）
因为直线l是圆N的切线，所以

|-2k+m|

1+k2

=2

2

，得m²-4k²-4mk-8=0…①…（8分）
由

y=kx+m y2=2x

消去x得 ky²-2y+2m=0，
所以△=4-4k×2m＞0即km＜

1

2

且k≠0，y1+y2=

2

k

，y1y2=

2m

k

．
因为点M和点N关于直线y=x对称，所以点M为（0，-2）
所以

MA

=(x1，y1+2)，

MB

=(x2，y2+2)，
因为

MA

⊥

MB

，所以

MA

•

MB

=x₁x₂+（y₁+2）（y₂+2）=0…（10分）
将A，B在直线y=kx+m上代入化简得(1+k2)y1y2+(2k2-m)(y1+y2)+m2+4k2=0
代入y1+y2=

2

k

，y1y2=

2m

k

得(1+k2)•

2m

k

+(2k2-m)•

2

k

+m2+4k2=0
化简得 m²+4k²+2mk+4k=0…②
①+②得 2m²-2mk+4k-8=0，即（m-2）（m-k+2）=0，解得m=2或m=k-2
当m=2时，代入①解得k=-1，满足条件km＜

1

2

且k≠0，此时直线l的方程为y=-x+2；
当m=k-2时，代入①整理得 7k²-4k+4=0，无解．…（12分）
当直线l的斜率不存在时，因为直线l是圆N的切线，所以l的方程为x=2

2

-2，
则得x1x2=4(3-2

2

)，y₁+y₂=0，(y1y2)2=4x1x2=16(3-2

2

)即y1y2=4(1-

2)

＜0
由①得：

MA

•

MB

=x₁x₂+（y₁+2）（y₂+2）
=x1x2+y1y2+2(y1+y2)+4=20-12

2

≠0
当直线l的斜率不存在时

MA

⊥

MB

不成立．
综上所述，存在满足条件的直线l，其方程为y=-x+2…（14分）
另解：
（2）设直线l的方程为x=my+a即x-my-a=0（m必存在）
因为直线l是圆N的切线，所以

|-2-a|

1+m2

=2

2

，得a²+4a-8m²-4=0…①…（8分）
由

x=my+a y2=2x

消去x得 y²-2my-2a=0，
所以△=4m²+8a＞0即m²+2a＞0，y₁+y₂=2m，y₁y₂=-2a．…（10分）
因为点M和点N关于直线y=x对称，所以点M为（0，-2）
所以

MA

=(x1，y1+2)，

MB

=(x2，y2+2)，
因为

MA

⊥

MB

，所以

MA

•

MB

=x₁x₂+（y₁+2）（y₂+2）=0
将A，B在直线x=my+a上代入化简得(1+m2)y1y2+(am+2)(y1+y2)+a2+4=0…（12分）
代入y₁+y₂=2m，y₁y₂=-2a得（1+m²）（-2a）+（am+2）（2m）+a²+4=0
化简得 a-2a+4m+4=0…②
①+②得 2a²+2a-8m²+4m=0，即（a+2m）（a-2m+1）=0，解得a=-2m或a=2m-1
当a=-2m时，代入①解得m=-1，a=2，满足条件m²+2a＞0；
当a=2m-1时，代入①整理得 4m²-4m+7=0，无解．
综上所述，存在满足条件的直线l，其方程为y=-x+2…（14分）

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查弦长的计算，考查韦达定理的运用，解题的关键是联立方程，正确运用韦达定理．