Question

已知圆N：（x+2）²+y²=8和抛物线C：y²=2x，圆的切线l与抛物线C交于不同的两点A，B，
（1）当直线l的斜率为1时，求线段AB的长；
（2）设点M和点N关于直线y=x对称，问是否存在直线l使得？若存在⊥，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）圆N的圆心N为（-2，0），半径，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设l的方程，利用直线l是圆N的切线，求得m的值，从而可得直线l的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，即可计算弦长|AB|；
（2）设直线l的方程，利用直线l是圆N的切线，可得直线l的方程，与抛物线方程联立，利用，可得m的值，从而可得直线l的方程；当直线l的斜率不存在时不成立．
解答：解：因为圆N：（x+2）²+y²=8，所以圆心N为（-2，0），半径，…（1分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
（1）当直线l的斜率为1时，设l的方程为y=x+m即x-y+m=0
因为直线l是圆N的切线，所以，解得m=-2或m=6（舍），此时直线l的方程为y=x-2，…（3分）
由消去x得y²-2y-4=0，
所以△＞0，y₁+y₂=2，y₁y₂=4，…（4分）
所以
所以弦长…（6分）
（2）设直线l的方程为y=kx+m即kx-y+m=0（k≠0）
因为直线l是圆N的切线，所以，得m²-4k²-4mk-8=0…①…（8分）
由消去x得 ky²-2y+2m=0，
所以△=4-4k×2m＞0即且k≠0，，．
因为点M和点N关于直线y=x对称，所以点M为（0，-2）
所以，，
因为，所以=x₁x₂+（y₁+2）（y₂+2）=0…（10分）
将A，B在直线y=kx+m上代入化简得
代入，得
化简得 m²+4k²+2mk+4k=0…②
①+②得 2m²-2mk+4k-8=0，即（m-2）（m-k+2）=0，解得m=2或m=k-2
当m=2时，代入①解得k=-1，满足条件且k≠0，此时直线l的方程为y=-x+2；
当m=k-2时，代入①整理得 7k²-4k+4=0，无解．…（12分）
当直线l的斜率不存在时，因为直线l是圆N的切线，所以l的方程为，
则得，y₁+y₂=0，即
由①得：=x₁x₂+（y₁+2）（y₂+2）
=
当直线l的斜率不存在时不成立．
综上所述，存在满足条件的直线l，其方程为y=-x+2…（14分）
另解：
（2）设直线l的方程为x=my+a即x-my-a=0（m必存在）
因为直线l是圆N的切线，所以，得a²+4a-8m²-4=0…①…（8分）
由消去x得 y²-2my-2a=0，
所以△=4m²+8a＞0即m²+2a＞0，y₁+y₂=2m，y₁y₂=-2a．…（10分）
因为点M和点N关于直线y=x对称，所以点M为（0，-2）
所以，，
因为，所以=x₁x₂+（y₁+2）（y₂+2）=0
将A，B在直线x=my+a上代入化简得…（12分）
代入y₁+y₂=2m，y₁y₂=-2a得（1+m²）（-2a）+（am+2）（2m）+a²+4=0
化简得 a-2a+4m+4=0…②
①+②得 2a²+2a-8m²+4m=0，即（a+2m）（a-2m+1）=0，解得a=-2m或a=2m-1
当a=-2m时，代入①解得m=-1，a=2，满足条件m²+2a＞0；
当a=2m-1时，代入①整理得 4m²-4m+7=0，无解．
综上所述，存在满足条件的直线l，其方程为y=-x+2…（14分）
点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查弦长的计算，考查韦达定理的运用，解题的关键是联立方程，正确运用韦达定理．