Question

【题目】已知椭圆过点且离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）如图所示，设椭圆的右顶点为，，是椭圆上异于点的两点，直线，的斜率分别为，，若，试判断直线是否经过一个定点？若是，则求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）是，直线过定点．

【解析】

（1）由题意结合椭圆的性质可得，解出，后即可得解；

（2）设直线的方程为，，，联立方程可得，，由题意可得，化简后可得或，分别代入直线方程即可得解.

（1）由题意可得，解得，，

则椭圆的方程为．

（2）由题意，直线的斜率存在，，

设直线的方程为，，，

联立得，

．

，，

直线，的斜率分别为，，，

，

，

化简得，

，

化简得，即，

解得或．

将代入中，解得，

当时，直线的方程为，直线过定点；

当时，直线的方程为，直线过定点，不符合题意．

故直线过定点．