Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F₁，F₂，且｜F₁F₂｜＝2，点P（1，）在椭圆C上.

（I）求椭圆C的方程；
（II）如图，动直线：与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且，，四边形面积S的求最大值.

Answer 1

（I）；（II）.

解析试题分析：（I）设出椭圆的方程，根据已知条件列方程组，求出和的值，然后写出椭圆的标准方程；（II）根据动直线与椭圆的交点个数，联立方程组求的关系式，再由点到直线的距离公式求得和的代数式，因为四边形是直角梯形，根据边的关系求得高的代数式，由梯形的面积公式表示出面积，利用等量代换，化简的解析式，由函数的单调性与导数的关系判断函数的单调性，根据单调性求最值.
试题解析：（I）设椭圆的方程为，
由已知可得   ，                            3分
解得，，
∴椭圆的方程为.                   5分
（II）由，得         6分
由直线与椭圆仅有一个公共点知，，
化简得．      7分
由点到直线的距离公式，可设
，                 8分
∵，
，
∴.
∴四边形面积.             10分                      

令，，，
当时，，∴在上为减函数，
∴，∴当时，
所以四边形的面积的最大值为．                    12分
考点：1、椭圆的定义及标准方程；2、点到直线的距离公式；3、梯形的面积公式；4、利用导数研究函数的单调性；5、利用导数求函数的最值.