Question

已知在x=1与处都取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）若对时，f（x）＜c恒成立，求实数c的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵，∴，
∵在x=1与处都取得极值，
∴f'（1）=0，．∴，解得；
（2）由（1）可知，
令，解得x=1或，
∵，∴f（x）在上单调递减，在上单调递增．
，而 ，
所以，即f（x）在上的最大值为．
对时，f（x）＜c恒成立，等价于f（x）_max＜c，即-＜c，
所以实数c的取值范围为c＞-．
分析：（1）求出f′（x），由题意可得f'（1）=0，．解此方程组即得a，b值；
（2）对时，f（x）＜c恒成立，等价于f（x）_max＜c，利用导数即可求得f（x）的最大值；
点评：本题考查利用导数求函数的最值、函数在某点取得极值的条件，考查函数恒成立问题，转化为求函数最值是解决函数恒成立问题的常用方法．