Question

【题目】已知函数

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，其中为自然对数的底数，求证：函数有2个不同的零点；

（3）若对任意的恒成立，求实数的最大值.

Answer 1

【答案】(1) 在单调递增，在单调递减. (2)证明见解析； (3)2

【解析】

（1）求得函数的导数，根据导数值的符号，即可求得函数的单调区间；

（2）由（1）的结论，求得函数的极大值，再结合实数与的关系，即可作出证明；

（3）设，求得，利用，求得函数在时单调递增，进而分和讨论，即可求解，得到结论.

（1）由题意，函数，可得，

当时，,在单调递增；

当时，令，则，令，则，

所以在单调递增，在单调递减.

（2）由（1）可知，当时，函数的最大值为：

，

因为，所以，因此有，

因为，所以，因此当时，函数有唯一零点；

因为，所以，，

故函数在时，必有唯一的零点，因此函数有2个不同的零点；

（3）设，，

，因为，所以函数在时单调递增，

即

当时，即，时，，函数在时单调递增，因此有，即当时，恒成立；

当时，所以存在，使得，

即当时，函数单调递减，所以此时，

显然对于当时，不恒成立，

综上所述，，所以实数的最大值为.