Question

【题目】如图，在三棱柱，中，侧面是菱形，是中点，平面，平面与棱交于点，．

（1）求证：四边形为平行四边形；

（2）若与平面所成角的正弦值为，求的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）或

【解析】

（1）由已知可得平面，由线面平行的性质定理，可得，再由面面平行的性质定理，可证，即可证明结论；

（2）根据已知可得两两互相垂直，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，，确定出点坐标，求出平面法向量坐标，由空间向量的线面角公式，建立关系，即可求解.

（1）证明：在三棱柱中，侧面为平行四边形，

所以，又因为平面，平面，

所以平面，因为平面，

且平面平面，所以．

因为在三棱柱中，平面平面，

平面平面，平面平面．

所以，故四边形为平行四边形．

（2）在中，因为，

是的中点，所以．

因为平面，所以，，

以，，所在直线分别为轴，轴，轴，

建立如图空间直角坐标系．

设，，在中，，

，所以，所以，

，，，

则所以，．

因为，所以，

即．因为，所以．

设平面的法向量为．

因为，即，所以．

令，则，，所以．

因为，

所以，即，

所以或，即或，

所以或．