Question

【题目】如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB=90°，点B1在底面内的射影恰好是BC的中点，且BC=CA=2．

（1）求证：平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；
（2）若二面角B﹣AB1﹣C1的余弦值为 ，求斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱AA1的长度．

Answer 1

【答案】
（1）解：取BC中点M，连接B1M，则B1M⊥面ABC，

∴面BB1C1C⊥面ABC，

∵BC=面BB1C1C∩面ABC，AC⊥BC，

∴AC⊥面BB1C1C，

∵AC面ACC1A1∴面ACC1A1⊥面BCC1B1

（2）解：取BC的中点为M，AB的中点M，连接OM，MB1，

以MC为x轴，MO为y轴，MB1为z轴，建立空间直角坐标系．AC=BC=2，AB=2 ，设B1M=t，则A（1，2，0），B（﹣1，0，0），C（1，0，0），B1（0，0，t），C1（2，0，t），

则 =（﹣1，﹣2，t）， =（﹣2，﹣2，0）， =（2，0，0），

设平面AB1C1法向量 ，

∴ ，即 ，取 = ．

同理可得面AB1B法向量 =（1，﹣1，﹣ ）．

∵ = = ，

t4+29t2﹣96=0，

∴t= ，

∴BB1=2．

【解析】（1）利用线面垂直的性质定理证明面面垂直（2）建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，利用余弦值求得边长．