Question

已知函数f(x)=2ax-,x∈(0,1],

(1)若f(x)在x∈(0,1]上是增函数，求a的取值范围；

(2)求f(x)在区间(0,1]上的最大值.

Answer 1

解：(1)由已知，可知f′(x)=2a+,

∵f(x)在x∈(0,1]上是增函数，有f′(x)＞0恒成立，即a＞-恒成立,而函数g(x)=-在x∈(0,1)上是增函数，且［g(x)］_max=g(1)=-1,

∴a＞-1.当a=-1时，f′(x)=-2+，对于x∈(0,1］，也有f′(x)≥0,满足f(x)在x∈(0,1］上是增函数,∴a≥-1即为所求.

(2)由(1)知a≥-1时，f(x)在x∈(0,1］上是增函数.

∴当a≥-1时，［f(x)］_max=f(1)=2a-1.

    当a＜-1时，令f′(x)=2a+=0，解得x=,注意到0＜＜1.

∴当0＜x＜时，f′(x)＞0;

    当＜x≤1时，f′(x)＜0.

∴当a＜-1时，［f(x)］_max=f()=2a-()²=-3.

∴对于x∈(0,1],

    当a≥-1时，［f(x)］_max=2a-1;

    当a＜-1时，［f(x)］_max=-3.