Question

6．已知四棱锥P-ABCD中，AD=2BC，且AD∥BC，点M，N分别是PB，PD中点，平面MNC交PA于Q．
（1）证明：NC∥平面PAB
（2）试确定Q点的位置，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）取PA中点E，连结EN，BE，则可证四边形BCNE是平行四边形，故CN∥BE，从而CN∥平面PAB；
（2）取PE的中点Q，连结MQ，NQ，则MQ∥BE∥CN，故Q∈平面MCN，即Q是PA的一个四等分点．

解答 解：（1）取PA中点E，连结EN，BE，
∵E是PA的中点，N是PD的中点，∴EN=$\frac{1}{2}$AD，EN∥AD，
又∵BC=$\frac{1}{2}AD$，BC∥AD，∴EN∥BC，EN=BC，
∴四边形BCNE是平行四边形．
∴CN∥BE，又∵BE?平面ABP，CN?平面ABP，
∴NC∥平面PAB．
（2）Q是PA的一个四等分点，且PQ=$\frac{1}{4}$PA．
证明如下：取PE的中点Q，连结MQ，NQ，
∵M是PB的中点，∴MQ∥BE，
又∵CN∥BE，∴MQ∥CN，∴Q∈平面MCN，
又∵Q∈PA，∴PA∩平面MCN=Q，
∴PQ=$\frac{1}{2}$PE=$\frac{1}{4}$PA，
∴Q是PA的靠近P的一个四等分点．

点评 本题考查了线面平行的判定及平面的性质，构造平行四边形是关键．