Question

【题目】已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若函数有两个不同的极值点、，求证：；

（3）设，函数的反函数为，令，、、，，且，若时，对任意的且，恒成立，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）具体详见解析；（2）证明见解析；（3）．

【解析】

（1）求得函数的定义域和导数，对与的大小进行分类讨论，分析导数的符号变化，进而可得出函数的单调区间；

（2）求得，由题意可知方程有两个不等的正根、，可求得的取值范围，并列出韦达定理，进而可得出，然后构造函数，利用导数证明出即可；

（3）根据题意得出，进而可得，、、，，且，由已知条件得出，分析出函数在上的单调性，可得出，进而可求得的最小值.

（1）函数的定义域为，

①当时，由得；由，得.

此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；

②当时，由得；由得或.

此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和；

③当时，对任意的恒成立，此时，函数在单调递减；

④当时，由得；由得或.

此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和.

综上所述，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；

当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和；

当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间；

当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和；

（2）证明：，

由已知函数有两个不同的极值点、，知有两个不等的正实数根，

即有两个不等正实数根，即，解得，

，

令，，

，

因为，所以，，

所以在单调递增，，结论得证；

（3）当时，，则，

所以，、、，，且，

对，恒成立，

即，即，

因为在单调递减，所以也递减，

当时，，

即对任意且，恒成立，

显然当时，，即，即，所以的最小值为．