Question

设AB是已知圆的直径（如图），C是线段AB上一点，D是此圆周上一点（不同于A、B），且|AC|=a，|BC|=b，|CD|=

ab

，则在下列结论中错误的是（　　）

• A．|AB|≥2|CD|
• B．

  AB

  ?

  CD

  =0
• C．

  AD

  ?

  BD

  =0
• D．|AD|²+|BD|²＜4|CD|²

Answer 1

分析：对于A，利用基本不等式可知正确；对于B，利用相交弦定理，可判断正确；对于C，AB是已知圆的直径，所以AD⊥BD；对于D，利用勾股定理，结合基本不等式可判断．

解答：解：∵|AB|=a+b≥2

ab

=2|CD|，∴A正确；
延长DC至E，则AC×CB=DC×CE，∵|AC|=a，|BC|=b，|CD|=

ab

，∴CE=

ab

，
∴C是DE的中点，∴AB⊥CD，∴

AB

•

CD

=0，故B正确；
∵AB是已知圆的直径，∴AD⊥BD，∴

AD

•

BD

=0，故C正确；
∵AD|²+|BD|²=|AB|²=（a+b）²=a²+b²+2ab≥2ab+2ab=4ab=4|CD|²，故D不正确；
故选D．

点评：本题以圆为载体，考查直角三角形的射影定理，解题的关键是结合圆中的性质，利用基本不等式求解