Question

【题目】中国古代数学经典《数书九章》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”.在如图所示的阳马中，底面ABCD是矩形.平面，，，以的中点O为球心，AC为直径的球面交PD于M（异于点D），交PC于N（异于点C）.

（1）证明：平面，并判断四面体MCDA是否是鳖臑，若是，写出它每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析，是，，，，；（2）

【解析】

（1）根据是球的直径，则，又平面， 得到，再由线面垂直的判定定理得到平面，，进而得到，再利用线面垂直的判定定理得到平面.

（2）以A为原点，，，所在直线为x，y，z轴建立直角坐标系，设，由，解得，得到，从而得到，然后求得平面的一个法向量，代入公式求解.

（1）因为是球的直径，则，

又平面，

∴，.∴平面，

∴，∴平面.

根据证明可知，四面体是鳖臑.

它的每个面的直角分别是，，，.

（2）如图，

以A为原点，，，所在直线为x，y，z轴建立直角坐标系，

则，，，，.

M为中点，从而.

所以，设，

则.

由，

得.

由得，即.

所以.

设平面的一个法向量为.

由.

取，，，得到.

记与平面所成角为θ，

则.

所以直线与平面所成的角的正弦值为.