Question

【题目】已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，O为坐标原点，M为OA的中点，若以AM为直径的圆与E的渐近线相切，则双曲线E的离心率等于（ ）

A.B.

C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

根据双曲线的方程和其几何性质得出以AM为直径的圆的圆心的坐标为，半径r＝，再由圆心到双曲线的渐近线的距离建立关于的方程，再根据双曲线的离心率公式可得选项.

由题意知，双曲线E的右顶点为A(a，0)，渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0.

由M为OA的中点，可知 ．

故以AM为直径的圆的圆心的坐标为，半径r＝，|AM|＝，

又双曲线的渐近线与圆相切，所以圆心到渐近线的距离等于圆的半径，即＝，

整理得＝3b，即c＝3，即，

从而得e2＝，所以e＝，

故选：A.