Question

【题目】已知椭圆的左.右焦点分别为，为坐标原点.

（1）若斜率为的直线交椭圆于点，若线段的中点为，直线的斜率为，求的值；

（2）已知点是椭圆上异于椭圆顶点的一点，延长直线，分别与椭圆交于点，设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析.

【解析】

（1）设出A，B点坐标，代入椭圆方程作差并整理，则可求出的值．

（2）设（），，先计算有一条直线斜率不存在对应的斜率之积的值，再讨论一般情况，求出B，D坐标，化简斜率得出结论．

（1）设，将，作差可得

，，，

所以；

（2）设（），，

当直线的斜率不存在时，设，则，

直线的方程为代入，可得

∴，，则，

∴直线的斜率为，直线的斜率为，

∴，当直线的斜率不存在时，同理可得.

当直线，的斜率存在时，，

设直线的方程为，则由消去可得：

，

又，则，代入上述方程可得

，

∴，

∴，则

∴，设直线的方程为，

同理可得

∴直线的斜率为，

∵直线的斜率为，

∴

所以直线与的斜率之积为定值，即.