Question

【题目】函数，.

（1）若，求函数的单调区间；

（2）若恒成立，求实数的取值范围；

（3）设，，为曲线上两点，且，设直线斜率为，，证明：

Answer 1

【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为（2）（3）见证明

【解析】

（1）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）恒成立，等价于恒成立，设，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最大值，从而可得结果; （3）要证即证，设，只需证明 ，其中，设，利用导数证明即可得结论.

（1）当时，函数，.

.

当时，，当时，，

则函数的单调递减区间为，单调递增区间为.

（2）恒成立，即恒成立，整理得：恒成立，设，则，令，得，所以，在上函数单调递增，在上单调递减.

所以当时，函数取得最大值，因此.

（3），

又，所以

要证.

即证，因为，

即证，

设，即证：，

也就是要证：，其中，

设，

则 ，

所以在上单调递增，因此.即：.