Question

过圆x²+y²=1上一点P作圆的切线与x轴和y轴分别交于A，B两点，O是坐标原点，则OA+8•OB的最小值是

2

65

．

Answer 1

分析：设∠OBP=α，由O＜α＜

π

2

，∠OAP=

π

2

-α，知OA+8OB=

1

cosα

+

8

sinα

≥2

1 cosα • 8 sinα

，当且仅当

1

cosα

=

8

sinα

，sinα=8cosα时，OA+8OB=

1

cosα

+

8

sinα

取最小值．此时，sinα=8cosα，由此能求出OA+8•OB的最小值．

解答：解：设∠OBP=α，
∵O＜α＜

π

2

，∠OAP=

π

2

-α，
∴OA=

1

sin( π 2 -α)

=

1

cosα

，
OB=

1

sinα

，
∴OA+8OB=

1

sin( π 2 -α)

+

8

sinα

=

1

cosα

+

8

sinα

≥2

1 cosα • 8 sinα

，
当且仅当

1

cosα

=

8

sinα

，sinα=8cosα时，OA+8OB=

1

cosα

+

8

sinα

取最小值．
此时，sinα=8cosα，
cos2α=

1

65

，cosα=

65

65

，sinα=

8 65

65

 ，
∴

1

cosα

+

8

sinα

=

65

+ 

65

=2

65

．
故OA+8•OB的最小值为2

65

．

点评：本题考查直线和圆的方程的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地运用均值不等式进行解题．