【题目】已知抛物线E:过点Q(1,2),F为其焦点,过F且不垂直于x轴的直线l交抛物线E于A,B两点,动点P满足△PAB的垂心为原点O.
(1)求抛物线E的方程;
(2)求证:动点P在定直线m上,并求的最小值.
【答案】(1);(2)证明见解析,的最小值为.
【解析】
(1)将点的坐标代入抛物线方程,由此求得的值,进而求得抛物线的方程.
(2)设出直线的方程,联立直线的方程与抛物线的方程,写出韦达定理,设出直线的方程,联立直线的方程求得的坐标,由此判断出动点在定直线上.求得的表达式,利用基本不等式求得其最小值.
(1)将点坐标代入抛物线方程得,所以.
(2)由(1)知抛物线的方程为,所以,设直线的方程为,设,由消去得,所以.由于为三角形的垂心,所以,所以直线的方程为,即.同理可求得直线的方程为.由,结合,解得,所以在定直线上.
直线的方程为,到直线的距离为,到直线的距离为.所以,当且仅当时取等号.所以的最小值为.
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【题目】在平面直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,并在两坐标系中取相同的长度单位.已知圆的方程为,直线的参数方程为(为参数,为直线的倾斜角).
(1)写出圆的极坐标方程和直线的普通方程;
(2)若为圆上任意一点,求点到直线的距离的取值范围.
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【题目】已知函数,若在处的切线方程为.
(I)求实数a,b的值;
(Ⅱ)证明,函数在x轴的上方无图像;
(Ⅲ)确定实数k的取值范围,使得存在,当时,恒有.
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【题目】已知
(1)若 ,且函数 在区间 上单调递增,求实数a的范围;
(2)若函数有两个极值点 , 且存在 满足 ,令函数 ,试判断 零点的个数并证明.
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【题目】在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2:ρ2﹣4ρcosθ+3=0.
(1)求曲线C1的一般方程和曲线C2的直角坐标方程;
(2)若点P在曲线C1上,点Q曲线C2上,求|PQ|的最小值.
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【题目】己知圆F1:(x+1)2 +y2= r2(1≤r≤3),圆F2:(x-1)2+y2= (4-r)2.
(1)证明:圆F1与圆F2有公共点,并求公共点的轨迹E的方程;
(2)已知点Q(m,0)(m<0),过点E斜率为k(k≠0)的直线与(Ⅰ)中轨迹E相交于M,N两点,记直线QM的斜率为k1,直线QN的斜率为k2,是否存在实数m使得k(k1+k2)为定值?若存在,求出m的值,若不存在,说明理由.
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