Question

【题目】已知（为自然对数的底数），.

（1）当时，求函数的极小值；

（2）当时，关于的方程有且只有一个实数解，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)见解析

【解析】

(1)由题意，当时，然后求导函数，分析单调性求得极值；

(2)先将原方程化简，然后换元转化成只有一个零点，再对函数进行求导，讨论单调性，利用零点存在性定理求得a的取值.

（1）当时，令解得

	递减	极小值	递增

（2）设，

令，，

，设，，

由得，

，在单调递增，

即在单调递增，，

①当，即时，时，，在单调递增,又，

此时在当时，关于的方程有且只有一个实数解.

②当，即时，

，又

故，当时，，单调递减，又，

故当时，，

在内，关于的方程有一个实数解.

又时，，单调递增，

且，令，

,,故在单调递增，又

故在单调递增，故，故，又，由零点存在定理可知，.

故当时，的方程有两个解为和

综上所述：当时的方程有且只有一个实数解