Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求的单调区间；

（2）求函数的极值；

（3）若函数有两个零点，求a的范围.

Answer 1

【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为（2）答案不唯一，具体见解析（3）

【解析】

（1）当时，求导得出，令导函数大于0和小于0，即可求出的单调区间；

（2）求导得，，分类讨论当和时，利用导函数求出的单调性，结合单调性可求出函数的极值；

（3）由（2）可知当时，在上单调递增，不可能有两个零点；当时，函数有极大值，令，，，求出的单调区间和最小值，则根据题意讨论当和当时存在另外一个零点，构造新函数，通过新函数的单调性和最值，结合分类讨论思想，即可求出函数有两个零点时，求a的范围.

（1），.

由得，由得.

所以的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2），，

当时，，在上单调递增，无极值；

当时，，，在上单调递增；

，，在上单调递减；

函数有极大值，无极小值.

（3）由（2）可知当时，在上单调递增，不可能有两个零点；

当时，函数有极大值，

令，，，

，，在上单调递减；

在上单调递增；

函数有最小值.

要使函数有两个零点，必须满足且，

下面证明：且时，函数有两个零点.

因为，所以下面证明还有另一个零点.

①当时，，

，

令，，

在上单调递减，，则，

所以在上有零点，又在上单调递减，

所以在上有唯一零点，从而有两个零点.

②当时，，，

易证，可得，

所以在上有零点，又在上单调递减，

所以在在上有唯一零点，从而有两个零点.

综上，a的取值范围是.