Question

【题目】已知 .

（1）求的单调递减区间；

（2）证明：当时， 恒成立.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】试题分析：（1）求出，分四种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间， 求得的范围，可得函数的减区间；（2）令 ，利用导数研究函数的单调性可得时， ， 时， ，∴时， ，从而可得结论.

试题解析：（1）易得定义域为，

，解得或.

当时，∵，∴，

解得，∴的单调递减区间为；

当时，

i.若，即时， 时， ，

时， ， 时， ，

∴的单调递减区间为；

ii.若，即时， 时， 恒成立，

没有单调递减区间；

iii.若，即时， 时， ； 时， ，

时， ，∴的单调递减区间为.

综上： 时，单调递减区间为； 时，单调递减区间为；

时，无单调递减区间； 时，单调递减区间为.

（2）令 ，

则

.

令， ，

时， ， 时， ，

∴时， ，即时， 恒成立.

解得或， 时， ， 时，

，∴时， ，得证.