Question

设椭圆C₁和抛物线C₂的焦点均在x轴上，C₁的中心和C₂的顶点均为原点，从每条曲线上各取两点，将其坐标记录于下表中：

x	3	-2	4	2
y	-2 3	0	-4	2 2

（Ⅰ）求曲线C₁，C₂的标准方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C₁交于不同两点M、N，且

OM

•

ON

=0，请问是否存在直线l过抛物线C₂的焦点F？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）由题意（-2，0），一定在椭圆C₁上，设C₁方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，可得a=2．于是椭圆C₁上任何点的横坐标|x|≤2．可判断点（

2

，

2

2

）也在C₁上，代入椭圆方程即可解得b²，因此得到椭圆的方程．从而（3，-2

3

），（4，-4）一定在抛物线C₂上，设C₂的方程为y²=2px（p＞0），把其中一个点的坐标代入即可得出．
（II）假设直线l过C₂的焦点F（1，0）．分类讨论：当l的斜率不存在时，得出M，N的坐标，然后验证是否满足

OM

•

ON

=0，即可．                               
当l的斜率存在时设为k，则l的方程为y=k（x-1）代入C₁方程并整理可得根与系数的关系，利用

OM

•

ON

=0，可得k的值即可．

解答：解：（I）由题意（-2，0），一定在椭圆C₁上，
设C₁方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，则a=2，
∴椭圆C₁上任何点的横坐标|x|≤2．
∴（

2

，

2

2

）也在C₁上，代入椭圆方程

( 2 )2

22

+

( 2 2 )2

b2

=1，
解得b²=1，
∴C₁的方程为

x2

4

+y²=1．
从而（3，-2

3

），（4，-4）一定在抛物线C₂上，
设C₂的方程为y²=2px（p＞0），可得（-4）²=2p×4．
∴p=2，即C₂的方程为y²=4x．
（II）假设直线l过C₂的焦点F（1，0）．
当l的斜率不存在时，则M（1，

3

2

），N（1，-

3

2

）．
此时

OM

•

ON

=1-

3

4

=

1

4

≠0，与已知矛盾．                               
当l的斜率存在时设为k，则l的方程为y=k（x-1）代入C₁方程并整理得，（1+4k²）x²-8k²x+4k²-4=0．
∵直线l过椭圆内部（1，0）点，故必有两交点．                       
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则
x₁+x₂=

8k2

1+4k2

，x₁x₂=

4k2-4

1+4k2

．
y₁y₂=k（x₁-1）k（x₂-1）=k²（x₁x₂-x₁-x₂+1）
=

-3k2

1+4k2

，
∵

OM

•

ON

=0，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴k²-4=0，k=±2，
∴存在符合条件的直线l且方程为y=±2（x-1）．

点评：本题综合考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、数量积与向量垂直的关系等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．