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已知函数f(x)=
sinπx
(x2+1)(x2-2x+2)
.关于下列命题正确的个数是(  )
①函数f(x)是周期函数;
②函数f(x)既有最大值又有最小值;
③函数f(x)的定义域是R,且其图象有对称轴;
④对于任意x∈(-1,0),f′(x)<0(f′(x)是函数f(x)的导函数).
A、1个B、2个C、3个D、4个
分析:观察函数的解析式,f(x)=
sinπx
(x2+1)(x2-2x+2)
,它不是一个奇函数,由于分子的值从-1到1周期性变化,分母的值随着x的值远离原点,逐渐趋向于正无穷大,函数图象逐渐靠近x轴,由这些性质对四个命题进行判断选出正确选项
解答:解:①函数f(x)是周期函数不正确,因为分母随着自变量的远离原点,趋向于正穷大,所以函数图象无限靠近于X轴,故不是周期函数;
②函数f(x)既有最大值又有最小值,由①的判断知,函数存在最大值与最小值,此命题正确;
③函数f(x)的定义域是R,且其图象有对称轴,由函数解析式可以得出,其图象周期性穿过X轴,由于分母不断增大,图象往两边延伸都无限靠近于X轴,其对称轴是x=
1
2
,此命题正确;
④对于任意x∈(-1,0),f′(x)<0(f′(x)是函数f(x)的导函数),此命题不正确,由于自变量从-1变化到0分母变小,而分子由0减小到-1,再由-1增大到0,所以函数值的变化是选减小再增大,故导数恒小于0不成立.此命题不正确
综上,②③正确
故选B
点评:考查了函数思想,转化思想,属中档题,是个基础题.还考查函数图象的对称变化和一元二次方程根的问题,以及函数奇偶性的判定方法等基础知识,考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力,数形结合法是解答本类题的重要方法.本题函数解析式复杂,不利于判断
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

(附加题)
(Ⅰ)设非空集合S={x|m≤x≤l}满足:当x∈S时有x2∈S,给出下列四个结论:
①若m=2,则l=4
②若m=-
1
2
,则
1
4
≤l≤1

③若l=
1
2
,则-
2
2
≤m≤0
④若m=1,则S={1},
其中正确的结论为
②③④
②③④

(Ⅱ)已知函数f(x)=x+
a
x
+b(x≠0)
,其中a,b∈R.若对于任意的a∈[
1
2
,2]
,f(x)≤10在x∈[
1
4
,1]
上恒成立,则b的取值范围为
(-∞,
7
4
]
(-∞,
7
4
]

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科目:高中数学 来源: 题型:

将正奇数列{2n-1}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:
记aij是这个数表的第i行第j列的数.例如a43=17
(Ⅰ)  求该数表前5行所有数之和S;
(Ⅱ)2009这个数位于第几行第几列?
(Ⅲ)已知函数f(x)=
3x
3n
(其中x>0),设该数表的第n行的所有数之和为bn
数列{f(bn)}的前n项和为Tn,求证Tn
2009
2010

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•开封二模)已知函数f(x)=sin(x+
π
6
)+2sin2
x
2

(I)求函数f(x)的单调递增区间;
(II)记△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c若f(A)=
3
2
,△ABC的面积S=
3
2
,a=
3
,求b+c的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•黑龙江一模)已知函数f(x)=
3
2
sinxcosx-
3
2
sin2x+
3
4

(Ⅰ) 求函数f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)已知△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若f(A)=0,a=
3
,b=2
,求△ABC的面积S.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•黄山模拟)已知函数f(x)=ln2(1+x),g(x)=
x2
1+x

(Ⅰ)分别求函数f(x)和g(x)的图象在x=0处的切线方程;
(Ⅱ)证明不等式ln2(1+x)≤
x2
1+x

(Ⅲ)对一个实数集合M,若存在实数s,使得M中任何数都不超过s,则称s是M的一个上界.已知e是无穷数列an=(1+
1
n
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所有项组成的集合的上界(其中e是自然对数的底数),求实数a的最大值.

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