Question

【题目】

如图，某城市有一块半径为40的半圆形（以为圆心，为直径）绿化区域，现计划对其进行改建，在的延长线上取点，使，在半圆上选定一点，改建后的绿化区域由扇形区域和三角形区域组成，其面积为，设

（1）写出关于的函数关系式，并指出的取值范围；

（2）试问多大时，改建后的绿化区域面积最大.

Answer 1

【答案】（1）S＝1600sinx＋800x，0＜x＜π（2）

【解析】

试题分析：（1）求出扇形区域AOC、三角形区域COD的面积，即可求出S关于x的函数关系式S（x），并指出x的取值范围；（2）求导数，确定函数的单调性，即可得出结论

试题解析：（1）因为扇形 AOC的半径为 40 m，∠AOC＝x rad，

所以 扇形AOC的面积S扇形AOC＝＝800x，0＜x＜π． ………………… 2分

在△COD中，OD＝80，OC＝40，∠COD＝π－x，

所以△COD 的面积S△COD＝·OC·OD·sin∠COD＝1600sin(π－x)＝1600sinx．……………… 4分

从而 S＝S△COD＋S扇形AOC＝1600sinx＋800x，0＜x＜π． ………… 6分

（2）由（1）知， S(x)＝1600sinx＋800x，0＜x＜π．

S′(x)＝1600cosx＋800＝1600(cosx＋)． ………… 8分

由 S′(x)＝0，解得x＝．

从而当0＜x＜时，S′(x)＞0；当＜x＜π时， S′(x)＜0 ．

因此 S(x)在区间(0，)上单调递增；在区间(，π)上单调递减． ……………… 11分

所以 当x＝，S(x)取得最大值．

答：当∠AOC为时，改建后的绿化区域面积S最大． ……………… 14分