Question

已知函数f(x)=

3x-1(x≤0) f(x-1)+1(x＞0)

把函数g（x）=f（x）-x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为

a_n=n-1

．

Answer 1

分析：根据函数的零点的定义，构造两函数图象的交点，交点的横坐标即为函数的零点，再通过数列及通项公式的概念得所求的解．

解答：解：当x∈（-∞，0]时，由g（x）=f（x）-x=3^x-1-x=0，得3^x=x+1．令y=3^x，y=x+1．在同一个坐标系内作出两函数在区间（-∞，0]上的图象，由图象易知交点为（0，1），故得到函数的零点为x=0．
   当x∈（0，1]时，x-1∈（-1，0]，f（x）=f（x-1）+1=3^x-1-1+1=3^x-1，由g（x）=f（x）-x=3^x-1-x=0，得3^x-1=x．令y=3^x-1，y=x．在同一个坐标系内作出两函数在区间（0，1]上的图象，由图象易知交点为（1，1），故得到函数的零点为x=1．
   当x∈（1，2]时，x-1∈（0，1]，f（x）=f（x-1）+1=3^x-1-1+1=3^x-2+1，由g（x）=f（x）-x=3^x-2+1-x=0，得3^x-2=x-1．令y=3^x-2，y=x-1．在同一个坐标系内作出两函数在区间（1，2]上的图象，由图象易知交点为（2，1），故得到函数的零点为x=2．
  依此类推，当x∈（2，3]，x∈（3，4]，…，x∈（n，n+1]时，构造的两函数图象的交点依次为（3，1），（4，1），…，（n+1，1），得对应的零点分别为x=3，x=4，…，x=n+1．
  故所有的零点从小到大依次排列为0，1，2，…，n+1．其对应的数列的通项公式为a_n=n-1．
故正确答案为：a_n=n-1．

点评：本题主要考查了函数零点的概念及零点的求法、数列的概念及简单表示；培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；解题中使用了数形结合及分类讨论的数学方法和数学思想．