Question

已知点A（2，0），B（0，2），点C（x，y）在单位圆上．
（1）若|

OA

+

.

OC

|=

7

（O为坐标原点），求

.

OB

与

.

OC

的夹角；
（2）若

.

AC

⊥

.

BC

，求点C的坐标．

Answer 1

考点：单位圆与周期性,平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）由已知得

x2+y2=1 (2+x)2+y2=7

，从而cos＜

OB

，

OC

＞=

OB • OC

| OB |•| OC |

=

2y

2 x2+y2

=y=±

3

2

，由此能求出

OB

与

OC

的夹角．
（2）

AC

=（x-2，y），

BC

=（x，y-2），由

AC

⊥

BC

得

x2+y2=1 x2+y2-2x-2y=0

，由此能求出点C的坐标．

解答：解：（1）

OA

=(2，0)，

OC

=(x，y)，

OB

=(0，2)．
且x²+y²=1，

OA

+

OC

=（2+x，y），
由|

OA

+

OC

|=

7

，得（2+x）²+y²=7，
由

x2+y2=1 (2+x)2+y2=7

，联立解得，x=

1

2

，y=±

3

2

．（2分）
cos＜

OB

，

OC

＞=

OB • OC

| OB |•| OC |

=

2y

2 x2+y2

=y=±

3

2

，（4分）
所以

OB

与

OC

的夹角为30°或150°．（6分）
（2）

AC

=（x-2，y），

BC

=（x，y-2），由

AC

⊥

BC

得，

AC

•

BC

=0，
由

x2+y2=1 x2+y2-2x-2y=0

，解得

x= 1- 7 4 y= 1+ 7 4

或

x= 1+ 7 4 y= 1- 7 4

，（10分）
所以点C的坐标为（

1- 7

4

，

1+ 7

4

）或（

1+ 7

4

，

1- 7

4

）．（12分）

点评：本题考查两向量的夹角的求法，考查点的坐标的求法，解题时要认真审题，注意单位圆的性质的合理运用．