Question

【题目】已知为坐标原点，椭圆的离心率为，双曲线的渐近线与椭圆的交点到原点的距离均为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若点为椭圆上的动点，三点共线，直线的斜率分别为.

（i）证明：；

（ii）若，设直线过点，直线过点，证明：为定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析；

【解析】

（1）设渐近线与椭圆交点为，根据到原点的距离和在椭圆上可得到关于的方程，结合离心率即可求得，进而得到椭圆方程；

（2）由关于原点对称可假设坐标；

（i）利用在椭圆上，满足椭圆方程，代入中化简整理可得结论；

（ii）求得后，将直线方程与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，利用可得到所求定值.

（1）设椭圆的半焦距为，由题意知：，…①，

双曲线的渐近线方程为，

可设双曲线的渐近线与椭圆在第一象限的交点为，

，解得：.

在椭圆上，，即：…②，

由①②解得：，，

椭圆的标准方程为：.

（2）由题意知：关于原点对称，则可设，，.

（i）点在椭圆上，，，

，，

.

（ii）不妨设，，

，，，，

直线过点，直线过点，

直线，，

由得：，，

由得：，，

，即，

为定值.