Question

（2013•辽宁）如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．
（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）若AB=2，AC=1，PA=1，求证：二面角C-PB-A的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证平面PAC⊥平面PBC，只要证明平面PBC经过平面PAC的一条垂线BC即可，利用题目给出的条件借助于线面垂直的判定定理能够证明BC⊥平面PAC；
（Ⅱ）因为平面PAB和平面ABC垂直，只要在平面ABC内过C作两面的郊县AB的垂线，然后过垂足再作PB的垂线，连结C和后一个垂足即可得到二面角C-PB-A的平面角，然后在作出的直角三角形中通过解直角三角形即可求得二面角C-PB-A的余弦值．

解答：（Ⅰ）证明：如图，
由AB是圆的直径，得AC⊥BC．
由PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，得PA⊥BC．
又PA∩AC=A，PA?平面APC，AC?平面PAC，
所以BC⊥平面PAC．
因为BC?平面PBC，
所以平面PAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）解：过C作CM⊥AB于M，
因为PA⊥平面ABC，CM?平面ABC，所以PA⊥CM，
故CM⊥平面PAB．
过M作MN⊥PB于N，链接NC．
由三垂线定理得CN⊥PB．
所以∠CNM为二面角C-PB-A的平面角．
在Rt△ABC中，由AB=2，AC=1，得BC=

3

，CM=

3

2

，BM=

3

2

．
在Rt△ABP中，由AB=2，AP=1，得PB=

5

．
因为Rt△BNM∽Rt△BAP，所以

MN

1

=

3 2

5

．
故MN=

3 5

10

．
又在Rt△CNM中，CN=

30

5

．故cos∠CNM=

6

4

．
所以二面角C-PB-A的余弦值为

6

4

．

点评：本题考查了平面与平面垂直的判定，考查了二面角的平面角及其求法，“寻找垂面，构造垂线”是找二面角的平面角常用的方法，此题是中档题．