Question

【题目】如图，在三棱锥P-ABC中，，，，，平面平面ABC．

（1）求证：平面PBC；

（2）求二面角P-AC-B的余弦值；

（3）求直线BC与平面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析，（2），（3）

【解析】

（1）由面面垂直的性质定理可得平面，然后可得，再结合条件即可证明

（2）作于点O，于点M，连结，可证明，所以是二面角P-AC-B的平面角，然后求出即可

（3）利用求出点B到平面的距离即可

（1）因为平面平面ABC，平面平面

，平面

所以平面

因为平面，所以

又因为，

所以平面

（2）如图，作于点O，于点M，连结

因为平面平面ABC，平面平面

，平面

所以平面

根据三垂线定理得：

所以是二面角P-AC-B的平面角

设，因为

所以，

因为，

所以，

所以

即二面角P-AC-B的余弦值为

（3）在（2）的前提下可得：

，

设点B到平面的距离为

因为

所以

所以

所以直线BC与平面PAC所成角的正弦值为