Question

（2009•崇明县二模）设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个顶点坐标为A（0，-

2

），且其右焦点到直线y-x-2

2

=0的距离为3．
（1）求椭圆C的轨迹方程；
（2）若A、B是椭圆C上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点M，则称弦AB是点M的一条“相关弦”，如果点M的坐标为M（

1

2

，0），求证点M的所有“相关弦”的中点在同一条直线上；
（3）根据解决问题（2）的经验与体会，请运用类比、推广等思想方法，提出一个与“相关弦”有关的具有研究价值的结论，并加以解决．（本小题将根据所提出问题的层次性给予不同的分值）

Answer 1

分析：（1）根据椭圆的焦点在x轴上，可知）b=

2

，根据右焦点到直线y-x-2

2

=0的距离为3，可得c=

2

，从而可求a=2，故可得椭圆C的轨迹方程；
（2））设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中点为P₀（x₀，y₀）

AB

=(x2-x1，y2-y1)，

P0M

=(

1

2

-x0，-y0)
由于

AB

⊥

P0M

，所以(x2-x1)(

1

2

-x0)+(y2-y1)(-

y

0

)=0，利用点在椭圆上，有（x₁-x₂）（x₁+x₂）+2（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，由此能导出点M的所有“相关弦”的中点在同一条直线x=1上．
（3）椭圆到一般，点到一般即可得结论：若A、B是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0））上的不同两点．弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点M，则称弦AB是点M的一条“相关弦”，如果点M的坐标为M（t，0），当-

a2-b2

a

＜t＜

a2-b2

a

时，证明：点M的所有“相关弦”的中点在同一条直线上．

解答：解：（1）b=

2

，
根据右焦点到直线y-x-2

2

=0的距离为3，可得c=

2

，∴a=2
∴椭圆C的标准方程：

x2

4

+

y2

2

=1
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中点为P₀（x₀，y₀）

AB

=(x2-x1，y2-y1)，

P0M

=(

1

2

-x0，-y0)
由于

AB

⊥

P0M

，所以(x2-x1)(

1

2

-x0)+(y2-y1)(-

y

0

)=0（Ⅰ）
则x₁²+2y₁²①x₂²+2y₂²②．
由①②两式相减得：x₁²-x₂²+2y₁²-2y₂²=0
即（x₁-x₂）（x₁+x₂）+2（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0（Ⅱ）
由（Ⅰ），（Ⅱ）得：x₀=1
因此：点M的所有“相关弦”的中点在同一条直线x=1上．
（3）椭圆到一般，点到一般
 若A、B是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0））上的不同两点．弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点M，则称弦AB是点M的一条“相关弦”，如果点M的坐标为M（t，0），当-

a2-b2

a

＜t＜

a2-b2

a

时，证明：点M的所有“相关弦”的中点在同一条直线上．

点评：本题的考点是直线与圆锥曲线的综合问题，主要考查椭圆标准方程的求解，考查点差法，同时考查学生探究能力，有一定的难度．