Question

【题目】已知数列满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）对任意给定的，是否存在（）使成等差数列？若存

在，用分别表示和（只要写出一组）；若不存在，请说明理由；

（3）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其边长为．

Answer 1

【答案】（1）; （2）当时，不存在p，r；当时，存在满足题设；（3）证明见解析.

【解析】

（1）由可求出数列的通项公式；（2）分和两种情况讨论，根据题中条件求出，，的大小关系，再设，即可用表示和；（3）构造三角形三边分别为，，，然后用反证法证明任意两个三角形互不相似，本题得证

（1）当时，；

当时，，

所以；

综上所述，．

（2）当时，若存在p，r使成等差数列，则，

因为，所以，与数列为正数相矛盾，因此，当时不存在；

当时，设，则，所以，

令，得，此时，，

所以，，

所以；

综上所述，当时，不存在p，r；当时，存在满足题设.

（3）作如下构造：，其中，

它们依次为数列中的第项，第项，第项，

显然它们成等比数列，且，，所以它们能组成三角形．

由的任意性，这样的三角形有无穷多个．

下面用反证法证明其中任意两个三角形和不相似：

若三角形和相似，且，则，

整理得，所以，这与条件相矛盾，

因此，任意两个三角形不相似．故命题成立．