Question

已知二次函数+的图象通过原点，对称轴为，．是的导函数，且 ．
（1）求的表达式（含有字母）；
（2）若数列满足，且，求数列的通项公式；
（3）在（2）条件下，若，，是否存在自然数，使得当时恒成立?若存在，求出最小的；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）；（2）；（3）存在自然数M=4，使得当n＞M时n•2ⁿ⁺¹-S_n＞50恒成立．

解析试题分析：（1）利用二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象通过原点，对称轴为x=-2n，（n∈N^*）．是f（x）的导函数，且，可求f（x）的表达式（含有字母n）；
（2）由（１）可得，从而有，利用叠加法：，求出数列{a_n}的通项公式；
（3）由(2)可知，它是由一个等差数列与一个等比数列的对应项的积构成的一个新的数列，这种数列的前n项和可利用两边同时乘公比相减的错位相减法求和先求出，然后就可将不等式恒成立转化为只含n的不等式恒成立问题，即可得出结论．
试题解析：（1）由已知，可得，，         1分
∴ 解之得，       3分
                4分
（2）                      5分

=        8分
（3）
                     10分
    （1）
     （2）
（1）—（2）得：   … 12分
=，即，当时，  … 13分
，使得当时，恒成立         14分
考点：１．数列的通项与求和；2．恒成立问题；3．数列与函数的综合．