Question

【题目】为筛查在人群中传染的某种病毒，现有两种检测方法：

（1）抗体检测法：每个个体独立检测，每一次检测成本为80元，每个个体收取检测费为100元．

（2）核酸检测法：先合并个体，其操作方法是：当个体不超过10个时，把所有个体合并在一起进行检测．

当个体超过10个时，每10个个体为一组进行检测．若该组检测结果为阴性（正常），则只需检测一次；若该组检测结果为阳性（不正常），则需再对每个个体按核酸检测法重新独立检测，共需检测k+1次（k为该组个体数，1≤k≤10，k∈N*）．每一次检测成本为160元．假设在接受检测的个体中，每个个体的检测结果是阳性还是阴性相互独立，且每个个体是阳性结果的概率均为p（0＜p＜1）．

（Ⅰ）现有100个个体采取抗体检测法，求其中恰有一个检测出为阳性的概率；

（Ⅱ）因大多数人群筛查出现阳性的概率很低，且政府就核酸检测法给子检测机构一定的补贴，故检测机构推出组团选择核酸检测优惠政策如下：无论是检测一次还是k+1次，每组所有个体共收费700元（少于10个个体的组收费金额不变）．已知某企业现有员工107人，准备进行全员检测，拟准备9000元检测费，由于时间和设备条件的限制，采用核酸检测法合并个体的组数不得高于参加采用抗体检测法人数，请设计一个合理的的检测安排方案；

（Ⅲ）设，现有n（n∈N*且2≤n≤10）个个体，若出于成本考虑，仅采用一种检测方法，试问检测机构应采用哪种检测方法？（ln3≈1.099，ln4≈1.386，ln5≈1.609，ln6≈1.792）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）见解析（Ⅲ）当n＝2时，采用抗体检测法，当3≤n≤10，n∈N*时，采用核酸检测法．

【解析】

（Ⅰ）利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式能求出其中恰有一个检测出为阳性的概率；（Ⅱ）设安排x个个体采用抗体检测法，y组个体采用核酸检测法，根据已知条件列出不等式组，总检测费用为z＝100x+700y，利用线性规划设计合理的安排方案；（Ⅲ）分别求出两种检测法的成本期望，由EX＞EY推导出ln（），利用导数研究函数的单调性从而求出n的取值范围，即可确定检测方法．

（Ⅰ）现有100个个体采取抗体检测法，其中恰有一个检测出为阳性的概率为：

P．

（Ⅱ）设安排x个个体采用抗体检测法，y组个体采用核酸检测法，

则由条件知：，x，y∈N，

总检测费用为．

画出可行域如图，

由，解得A（，），

则在可行域内临近A点的整点有（10，10），（17，9），此时，Zmin＝8000，

即安排17人采取抗体检测法，90人采用核酸检测法，或者安排10人采取抗体检测法，97人采用核酸检测法，可使所有员工参加检测，且费用偏低．

（Ⅲ）设采用抗体检测法，检测机构成本期望为EX，则，

采用核酸检测，检测机构成本期望为EY，

设采用核酸检测法检测次数为η，则η的取值只有1和n+1，

且， ，

∴，

∴，

设EX＞EY，则，即，

∵，∴，

∴，即，

设，则，

由，得，，得，

∴在上单调递减，在上单调递增，

又

，

，

∴当n≥3，时，EX＞EY，

∴当n＝2时，采用抗体检测法，当3≤n≤10，时，采用核酸检测法．