Question

【题目】已知函数.

(1)若只有个正整数解，求的取值范围；

(2)①求证：方程有唯一实根，且；

②求的最大值.

Answer 1

【答案】(1)；(2)①见解析；②

【解析】

(1)利用导数研究函数的单调性，可知当时，取得极大值，又，计算可知，只需再比较与的大小，即可求出的取值范围；

(2)①由方程可得，发现等式两侧结构一致，可构造函数，利用导数判断单调性后可得，设，再利用导数判断单调性并结合零点存在性定理，即可得证；

② ，求导可得，结合①可判断的单调性，进而可求出的最大值.

(1)因为，所以，令，得，

所以时，，是增函数，

时，是减函数，

所以当时，函数取得极大值，

因为，，又，

所以，又，

所以只有个正整数解为，，即的取值范围是.

(2)①方程，即，

由得，，，

设，则，且，，

因为，所以在上为增函数，

所以，即

设，则在为增函数，且，，

所以存在唯一，使得，

即方程有唯一实根，且.

②，

则，

由①知有唯一零点，所以有唯一零点，

结合，，

可得时，，是增函数，

时，是减函数，

所以，

所以的最大值为.