Question

【题目】已知函数．

（1）求的单调区间；

（2）若曲线与直线有且只有一个公共点，求证：．（参考数据：）

Answer 1

【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）证明见解析.

【解析】

（1）对函数求导，即可得函数的单调区间；

（2）构造函数，将问题转化为函数有且只有一个零点，利用导数研究函数的单调性，得到关于的等式，最后构造函数，利用函数的单调性求的取值范围，从而得证．

（1）由题意，函数，则，

设，则，

当时，，函数单调递增，即在上单调递增，

因为，所以当时，，当时，，

所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为．

（2）设函数，

由曲线与直线有且只有一个公共点，

等价于函数有且只有一个零点，

又由，

设，则，

当时，，函数单调递增，即在上单调递增，

因为，所以存在，使，

所以当时，单调递减，当时，单调递增，

而，

所以要使函数有且只有一个零点，则，

所以，即，

消元得．

令，则，

当时，，所以函数单调递减，

又由，所以存在，使得，

即若曲线与直线有且只有一个公共点，则．