Question

【题目】已知椭圆，过点作椭圆C的切线l，在第一象限的切点为P，过点P作与直线l倾斜角互补的直线，恰好经过椭圆C的下顶点N.

（1）求椭圆C的方程；

（2）F为椭圆C的右焦点，过点F且与x轴不垂直的直线交椭圆C于A，B两点，点A关于x轴的对称点为，则直线是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）过定点.

【解析】

（1）设出直线l的方程，联立直线与椭圆方程，利用相切得到根的判别式为0，进而得到切点坐标，再根据两直线倾斜角之间的关系，得到b的值，从而得椭圆C的方程；（2）设出直线的方程，联立直线与椭圆方程，设出，，可得，及坐标，写出直线的方程，化简，根据方程的特点，即得过定点.

解：（1）由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为，与椭圆方程联立，得，化简整理得，（*）

，得，

所以方程（*）可化为，可得切点.

，由已知，

所以，即，得，

所以椭圆C的方程为.

（2）由（1）知，

设直线的方程为，与椭圆方程联立，得，化简整理得，

设，，则，.

由，可得，则

的方程为，

即

，

所以当时，，即过定点.

拓展结论：

圆上点处的切线方程为，而若点在圆外，则直线方程的几何含义是过点所作圆的两条切线的切点连线的方程；由此类比：椭圆上点处的切线方程为，而若点在椭圆外，则方程的几何含义是过点所作椭圆的两条切线的切点连线的方程；抛物线上点处的切线方程为，而若点在抛物线外，则直线方程的几何含义是过点所作抛物线的两条切线的切点连线的方程.