Question

【题目】如图，在长方体ABCD﹣HKLE中，底面ABCD是边长为3的正方形，对角线AC与BD相交于点O，点F在线段AH上，且，BE与底面ABCD所成角为．

（1）求证：AC⊥BE；

（2）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；

（3）设点M在线段BD上，且AM//平面BEF，求DM的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）由题意可得DE⊥AC，AC⊥BD，根据线面垂直的判定可得AC⊥平面BDE，由线面垂直的性质即可得证；

（2）由DA，DC，DE两两垂直，建立空间直角坐标系D﹣xyz，求出平面BEF的一个法向量、平面BDE的一个法向量，由即可得解；

（3）设M(t,t,0)，则 (t﹣3,t,0)，由AM//平面BEF可得，求得t后即可得解．

（1）证明：因为在长方体ABCD﹣HKLE中， DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC，

因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，

又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDE，

而BE平面BDE，所以AC⊥BE；

（2）因为在长方体ABCD﹣HKLE中，DA，DC，DE两两垂直，

所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示：

由DE⊥平面ABCD可知∠DBE为直线BE与平面ABCD所成的角，

又因为BE与平面ABCD所成角为，所以，

所以，由AD＝3，可知，DE＝，

所以AH＝3，

又20，即AF，故AF，

则A(3,0,0)，F(3,0,)，E(0,0,3)，B(3,3,0)，C(0,3,0)，

所以(0,﹣3,)，(3,0,﹣2)，

设平面BEF的一个法向量为(x,y,z)，

则，即，令，则(4,2,)，

因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的一个法向量，(3,﹣3,0)，

所以,

因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为；

（3）因为点M是线段BD上一个动点，设M(t,t,0)，则(t﹣3,t,0)，

因为AM//平面BEF，所以，

即4(t﹣3)+2t＝0，解得t＝2．

此时，点M坐标为(2,2,0)，，符合题意．