Question

【题目】已知函数f（x）|2x﹣3|，g（x）|2x+a+b|.

（1）解不等式f（x）x2；

（2）当a0，b0时，若F（x）f（x）+g（x）的值域为[5，+∞），求证：.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）见解析

【解析】

（1）由题意可得|2x﹣3|x2，由绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；

（2）由a0，b0，根据绝对值三角不等式，化简可得F（x）的最小值，可得a+b的值，再由乘1法和基本不等式，即可得证.

（1）解：不等式f（x）x2化为|2x﹣3|x2，等价于或，

即为或，

解得x或x﹣3或1x，

所以不等式f（x）x2的解集为{x|x1或x﹣3}；

（2）证明：由a0，b0，

根据绝对值三角不等式可知F（x）f（x）+g（x）|2x﹣3|+|2x+a+b||3﹣2x|+|2x+a+b|

≥|3﹣2x+2x+a+b||a+b+3|a+b+3，

又F（x）f（x）+g（x）的值域为[5，+∞），

可得a+b+35，

即a+b2，

即（a+2）+（b+2）6，

故[（a+2）+（b+2）]（）

（2）（2+2），

当且仅当，即ab1时取等号时，

故.