Question

（2013•崇明县二模）已知函数f(x)=sinx+acos2

x

2

（a为常数，a∈R），且x=

π

2

是方程f（x）=0的解．当x∈[0，π]时，函数f（x）值域为

[-2，

2

-1]

．

Answer 1

分析：利用x=

π

2

是方程f（x）=0的解．求出a，然后通过二倍角的余弦函数两角和的正弦函数化简函数表达式，然后求解函数的值域．

解答：解：因为x=

π

2

是方程f（x）=0的解．
所以0=sin

π

2

+acos2

π

4

，所以=-2，
f(x)=sinx-2cos2

x

2

=sinx-cosx-1=

2

sin（x-

π

4

）-1，
x∈[0，π]，所以x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
sin（x-

π

4

）∈[-

2

2

，1]，

2

sin（x-

π

4

）-1∈[-2，

2

-1]．
故答案为：[-2，

2

-1]．

点评：本题考查二倍角的余弦函数，两角和的正弦函数的应用，三角函数值域的求法，考查计算能力．