Question

【题目】已知函数（），曲线在点处的切线与直线垂直.

（1）试比较与的大小，并说明理由；

（2）若函数有两个不同的零点，证明： .

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】试题分析：（Ⅰ）求出f（x）的导数，由两直线垂直的条件：斜率相等，即可得到切线的斜率和切点坐标，进而f（x）的解析式和导数，求出单调区间，可得f（2016）＞f（2017），即可得到20162017与20172016的大小；

（Ⅱ）运用分析法证明，不妨设x1＞x2＞0，由根的定义可得所以化简得lnx1﹣kx1=0，lnx2﹣kx2=0．可得lnx1+lnx2=k（x1+x2），lnx1﹣lnx2=k（x1﹣x2），要证明， ，即证明lnx1+lnx2＞2，也就是k（x1+x2）＞2．求出k，即证，令 ，则t＞1，即证．令（t＞1）．求出导数，判断单调性，即可得证．

试题解析：

（1）依题意得，

所以，又由切线方程可得，即，解得

此时， ，

令，即，解得；

令，即，解得

所以的增区间为，减区间为

所以，即，

， .

（2）证明：不妨设因为

所以化简得，

可得， .

要证明，即证明，也就是

因为，所以即证

即，令，则，即证.

令（），由

故函数在是增函数，所以，即得证.

所以.