Question

【题目】已知函数，，其中.

（1）当时，求的单调区间；

（2）证明：对任意的，在区间内均存在零点.

Answer 1

【答案】（1）的单调递增区间是，；的单调递减区间是.（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）由，令，解得或，解出不等式和，故而可得单调区间；（2）由（1）可知，当时，在内递减，内单调递增，进而分类讨论：当，即时，在递减，在递增；当，即时，在内递减，在内单调递增．利用零点存在定理可证对任意，在区间内均存在零点.

试题解析：（1），令，解得或，

∵，∴，

当变化时，，的变化情况如下表：

	＋	－	＋
	↗	↘	↗

所以，的单调递增区间是，；的单调递减区间是.

（2）证明：由（1）可知，在内的单调递减，在内单调递增，以下分两种情况讨论：

（ⅰ）当，即时，在内单调递减，

，.

所以对任意，在区间内均存在零点.

（2）当，即时，在内单调递减，在内单调递增，若，，.

（也可由二次函数知识证明在上恒大于0）

所以在内存在零点.

若，，

（也可以利用求导的方法证明在上恒小于0）所以在内存在零点.

所以，对任意，在区间内均存在零点.

综上，对任意，在区间内均存在零点，原不等式成立.