Question

某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是0.8πr²分(其中r是瓶子的半径,单位是厘米).已知每出售1 mL的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.

(1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大?

(2)瓶子半径多大时,每瓶饮料的利润最小?

Answer 1

分析：本题考查导数的应用及利用导数知识解决实际问题的能力.

解：由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利润是

y=f(r)=0.2×πr³-0.8πr²=0.8π(-r²),0<r≤6.     

令f′(r)=0.8π(r²-2r)=0.

当r=2时,f′(r)=0;

当r∈(0,2)时,f′(r)<0;

当r∈(2,6)时,f′(r)>0.     

因此,当半径r>2时,f′(r)>0,它表示f(r)单调递增,即半径越大,利润越高;半径r<2时,f′(r)<0,它表示f(r)单调递减,即半径越大,利润越低.         

(1)半径为6 cm时,利润最大.       

(2)半径为2 cm时,利润最小,这时f(2)<0,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本,此时利润是负值.