Question

【题目】如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，，平面ABCD，，且.

（1）求直线AD和平面AEF所成角的大小；

（2）求二面角E-AF-D的平面角的大小.

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

(1)根据线段的垂直关系，建立空间直角坐标系，计算直线的方向向量与平面的法向量的夹角的余弦值，即可计算出线面角的大小；

(2)计算两个平面的法向量，通过平面法向量的夹角的余弦值，计算出二面角的大小.

解：（1）因为，所以B，E，F，D四点共面，

因为四边形ABCD是菱形，所以，设AC与BD的交点为O，

以O为坐标原点，OA，OB以及垂直于平面ABC的方向为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz如图所示，

则，，

设为平面AEF的一个法向量，

则有：，即，令可得，

设直线AD和平面AEF所成角为，则，

所以直线AD和平面AEF所成角为.

（2）由（1）可知，平面AEF的一个法向量为

设为平面ADF的一个法向量，

则有：，即，令可得，，

，

所以二面角E-AF-D的平面角为.