Question

【题目】已知函数．

（1）求在点处的切线方程；

（2）（i）若恒成立，求的取值范围；

（i i）当时，证明．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i）；（i i）证明见解析.

【解析】

（1）对函数求导，求得，利用导数的几何意义，即可求得切线方程；

（2）（i）将问题转化为恒成立，对参数进行分类讨论，根据函数单调性，即可容易求参数的范围；

（i i）当时，；结合（i）中所求，可得，再利用不等式进行适度放缩，结合裂项求和，即可容易证明.

（1）因为，

故可得，

，，

所以在点处的切线方程为：，

即．

（2）（i）因为恒成立，

恒成立，即恒成立．

令，则，

①当时，，所以满足；

②当时，，在上单调递减，

因为时，，所以不满足；

③当时，时，，单调递增；

时，，单调递减；

，解得．

所以的取值范围为．

（i i）时，，所以．

由（i）知：，即，所以．

令，得，即，所以．

即证.