Question

【题目】在数列{an}，{bn}中，an＝bn+n，bn＝﹣an+1.

（1）证明：数列{an+3bn}是等差数列.

（2）求数列的前n项和Sn.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）Sn

【解析】

（1）可将bn＝﹣an+1代入an＝bn+n计算可得数列{an}的通项公式，然后根据bn＝﹣an+1可得数列{bn}的通项公式，即可计算出数列{an+3bn}的通项公式，再根据等差数列的定义法可证明数列{an+3bn}是等差数列；

（2）先根据（1）的结果计算出数列的通项公式，然后根据通项公式的特点可采用错位相减法计算出前n项和Sn.

（1）证明：由题意，将bn＝﹣an+1代入an＝bn+n，可得

an＝bn+n＝﹣an+1+n，即2an＝n+1，

∴an，n∈N*，

∴bn＝﹣an+11，n∈N*，

∴an+3bn32﹣n，

∵（an+1+3bn+1）﹣（an+3bn）＝2﹣（n+1）﹣（2﹣n）＝﹣1，

∴数列{an+3bn}是以﹣1为公差的等差数列.

（2）由（1）知，，

则Sn，

∴Sn，

两式相减，可得

Sn

（）

，

∴Sn.