Question

【题目】如图，设椭圆的中心为原点，长轴在轴上，上顶点为，左、右焦点分别为，线段的中点分别为，且是面积为的直角三角形.

（1）求该椭圆的离心率和标准方程；

（2）过作直线交椭圆于两点，使，求的面积.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：（1）设椭圆的方程为，F2（c，0），利用△AB1B2是的直角三角形，|AB1|=AB2|，可得∠B1AB2为直角，从而，利用c2=a2﹣b2，可求得离心率，又=4，故可求椭圆标准方程；

（2）由（Ⅰ）知B1（﹣2，0），B2（2，0），由题意，直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方程为x=my﹣2，代入椭圆方程，消元可得（m2+5）y2﹣4my﹣16﹣0，利用韦达定理及PB2⊥QB2，利用可求m的值，进而可求△PB2Q的面积．

试题解析：

（1）设椭圆的方程为， ，∵是面积为的直角三角形， ，∴为直角，从而，得，∵

，在中， ，∴，∵ ，∴椭圆标准方程为.

（2）由（1）知，由题意，直线的倾斜角不为，故可设直线的方程为，代入椭圆方程，消元可得，①

设，

∵，

∴，∵，∴，∴，当时，①可化为，

∴，

∴的面积.