Question

已知点A（2，0）关于直线l₁：x+y-4=0的对称点为A₁，圆C：（x-m）²+（y-n）²=4（n＞0）经过点A和A₁，且与过点B（0，-2）的直线l₂相切．
（1）求圆C的方程；（2）求直线l₂的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由点A和A₁均在圆C上且关于直线l₁对称，得到圆心在直线l₁上，由圆的方程找出圆心坐标，代入直线l₁，得到关于m与n的方程，然后把点A的坐标代入到圆的方程中，得到关于m与n的另一个方程，联立两方程即可求出m与n的值，确定出圆C的方程；
（2）当直线l₂的斜率存在时，设出直线l₂的方程，由直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，从而确定出直线l₂的方程；当直线l₂的斜率不存在时，x=0显然满足题意，综上，得到所有满足题意得直线l₂的方程．
解答：解：（1）∵点A和A₁均在圆C上且关于直线l₁对称，
∴圆心在直线l₁上，由圆C的方程找出圆心C（m，n），
把圆心坐标直线l₁，点A代入圆C方程得：
，解得或（与n＞0矛盾，舍去），
则圆C的方程为：（x-2）²+（y-2）²=4；
（2）当直线l₂的斜率存在时，
设直线l₂的方程为y=kx-2，由（1）得到圆心坐标为（2，2），半径r=2，
根据题意得：圆心到直线的距离d==r=2，解得k=1，
所以直线l₂的方程为y=x-2；
当直线l₂的斜率不存在时，
易得另一条切线为x=0，
综上，直线l₂的方程为y=x-2或x=0．
点评：此题考查了圆的标准方程，以及直线与圆的位置关系．要求学生会利用待定系数法求圆的方程，掌握直线与圆相切时满足的关系，在求直线l₂的方程时，注意由所求直线的斜率存在还是不存在，利用分类讨论的方法得到所有满足题意得方程．