Question

已知点A（2，0）关于直线l₁：x+y-4=0的对称点为A′，圆C：（x-m）²+（y-n）²=4（n＞0）经过点A和A′，且与过点B(0，-2

2

)的直线l₂相切，求直线l₂的方程．

Answer 1

分析：由题意可得圆心在直线l₁上，由圆的方程找出圆心坐标，代入直线l₁，得到关于m与n的方程，然后把点A的坐标代入到圆的方程中，得到关于m与n的另一个方程，联立两方程即可求出m与n的值，确定出圆C的方程；当直线l₂的斜率存在时，设出直线l₂的方程，由直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，从而确定出直线l₂的方程；当直线l₂的斜率不存在时，x=0显然满足题意，综上，得到所有满足题意得直线l₂的方程．

解答：解：∵点A和A₁均在圆C上且关于直线l₁对称，
由题意可得圆C的圆心C（m，n）在直线x+y-4=0上
∴

m+n=4 (m-2)2+n2=4

，解得

m=2 n=2

或

m=4 n=0

（与n＞0矛盾，舍去），
则圆C的方程为：（x-2）²+（y-2）²=4；
①当直线l₂的斜率存在时，设直线l₂的方程为y=kx-2

2

，由（1）得到圆心坐标为（2，2），半径r=2，
根据题意得：圆心到直线的距离d=

|2k-2-2 2 |

k2+1

=r=2，解得k=1，
所以直线l₂的方程为y=x-2

2

；
②当直线l₂的斜率不存在时，易得另一条切线为x=0，
综上，直线的方程为y=x-2

2

或x=0

点评：此题考查了圆的标准方程，以及直线与圆的位置关系．要求学生会利用待定系数法求圆的方程，掌握直线与圆相切时满足的关系，在求直线l₂的方程时，注意由所求直线的斜率存在还是不存在，利用分类讨论的方法得到所有满足题意得方程．